1. 한 줄 정의: '비(比)'로 쓸 수 있느냐

유리수(有理數)와 무리수(無理數)라는 이름은 영어 rational number, irrational number를 옮긴 말입니다. 여기서 rational의 어원 ratio는 '비율', 즉 두 정수의 비를 뜻합니다. 그러니 이름 자체가 정의를 품고 있는 셈이죠. "정수의 비로 나타낼 수 있는 수"가 유리수, "그럴 수 없는 수"가 무리수입니다.

유리수 집합을 흔히 ℚ로 표기하는데, '몫'을 뜻하는 이탈리아어 quoziente(영어 quotient)의 머리글자에서 왔다고 알려져 있습니다. 유리수와 무리수를 모두 합친 것이 실수(ℝ)이며, 모든 실수는 둘 중 정확히 하나에만 속합니다. 즉 "유리수이면서 무리수인 수"도, "둘 다 아닌 실수"도 없습니다.

수 체계 안에서 유리수의 위치를 정리하면 다음과 같습니다. 자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수이고, 무리수는 실수에서 유리수를 뺀 나머지입니다. 정수가 모두 유리수에 포함된다는 점(5 = 5/1)도 기억해 두면 좋습니다.

2. 소수로 보면 단번에 갈린다: 끝나거나, 반복하거나

분수 판정을 매번 정의로만 하려면 막막합니다. 다행히 소수 전개를 보면 두 수가 확실하게 갈립니다. 이것이 실전에서 가장 많이 쓰는 기준입니다.

사실 이 두 진술은 서로 '필요충분조건'입니다. 즉 어떤 실수가 유리수이다 ⟺ 그 소수 전개가 유한하거나 순환한다. 화살표가 양방향이라는 점이 중요합니다. 하나씩 이유를 볼까요?

왜 분수는 반드시 반복하게 될까: 나머지의 비둘기집

a/b를 나눗셈으로 계산한다고 해 봅시다. 각 단계에서 나오는 나머지는 0, 1, 2, …, b−1 중 하나밖에 될 수 없습니다. 나머지가 0이 되면 나눗셈이 끝나 유한소수가 되고, 0이 안 나오면 가능한 나머지는 1부터 b−1까지 최대 b−1가지뿐이죠. 그러니 많아야 b번 안에 이미 나왔던 나머지가 다시 등장하고, 그 순간부터 몫의 숫자들도 똑같이 되풀이됩니다. 이른바 비둘기집 원리입니다.

위 그림처럼 1을 7로 나누면 나머지가 1 → 3 → 2 → 6 → 4 → 5 → 다시 1로 돌아오고, 그동안 몫 1, 4, 2, 8, 5, 7이 차례로 나옵니다. 1/7의 순환마디가 정확히 6자리(= 7 − 1)인 이유가 여기 있습니다. 분모가 b라면 순환마디 길이는 b − 1을 넘을 수 없습니다.

반대로 순환소수는 언제나 분수로 되돌릴 수 있습니다. 이 '역방향'은 다음 절에서 직접 해 보겠습니다. 결국 무리수는 이 두 경우를 모두 벗어난 수, 곧 끝도 없고 반복 규칙도 없는 소수가 됩니다.

3. 순환소수를 분수로 바꾸는 마법: 빼기 한 번이면 끝

순환소수가 유리수라는 사실을 가장 실감 나게 보여 주는 방법은 직접 분수로 바꿔 보는 것입니다. 핵심 아이디어는 10의 거듭제곱을 곱해 순환 부분을 정렬한 뒤 빼서 무한 꼬리를 날리는 것입니다.

예제 ① 0.272727…

예제 ② 0.8333… (순환하지 않는 부분이 섞인 경우)

순환 직전까지 소수점을 옮긴 식(10x)과 순환마디 하나를 더 옮긴 식(100x)을 만들어 빼는 것이 요령입니다. 공식으로 외우면 "(전체 숫자 − 순환 안 하는 부분) ÷ (순환마디 자릿수만큼 9, 비순환 자릿수만큼 0)"이 됩니다. 0.8333…은 (83 − 8)/90 = 75/90 = 5/6으로 바로 나오죠.

예제 ③ 화제의 주인공, 0.999… = 1

많은 사람이 "1에 한없이 가까울 뿐 1은 아니지 않나?"라고 반문하지만, 실수 체계에서 0.999…와 1은 완전히 같은 수입니다. 다른 각도에서도 확인할 수 있어요. 1/3 = 0.333…의 양변에 3을 곱하면 1 = 0.999…가 됩니다. 또 두 수가 다르다면 그 사이에 어떤 수가 있어야 하는데, 0.999…와 1 사이에 끼워 넣을 수 있는 실수는 존재하지 않습니다. 이처럼 유한소수는 두 가지 소수 표현(0.5 = 0.4999…)을 가진다는 점도 흥미로운 사실입니다.

4. √2는 왜 분수가 될 수 없을까: 2,000년 넘게 사랑받은 증명

소수 전개를 수조 자리까지 계산해 반복이 안 보인다고 해서 "무리수다"라고 결론 낼 수는 없습니다. 아주 긴 순환마디일 가능성이 남기 때문이죠. 그래서 무리수임을 보이려면 논리적 증명이 필요합니다. 가장 유명한 것이 √2에 대한 귀류법 증명입니다. 귀류법은 "결론이 틀렸다고 가정하면 모순이 생긴다"를 보여 원래 결론이 참임을 이끌어 내는 방법입니다.

이 증명은 √3, √5처럼 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근 전체로 일반화할 수 있습니다. 결론만 기억해 두면 편리합니다. 자연수 n의 제곱근 √n은 n이 완전제곱수(1, 4, 9, 16…)일 때만 정수이고, 그 외에는 모두 무리수입니다. √16 = 4는 유리수, √15는 무리수인 식이죠.

정사각형 하나에서 태어난 위기

무리수의 존재는 고대 그리스에서 발견된 것으로 전해집니다. "만물은 수(정수와 그 비)"라고 믿었던 피타고라스 학파에게, 한 변이 1인 정사각형의 대각선 길이(√2)가 어떤 정수의 비로도 나타나지 않는다는 사실은 세계관을 흔드는 충격이었어요. 이 발견을 학파 구성원 히파수스가 외부에 알렸다가 벌을 받았다는 이야기가 유명하지만, 이는 후대의 기록에 전하는 전설로 역사적 사실 여부는 확실하지 않습니다. 확실한 것은 고대 그리스 수학에서 '통약 불가능한 양'이라는 개념이 정립되었고, 에우클레이데스의 『원론』 제10권에서 이를 체계적으로 다룬다는 점입니다.

π와 e는 언제 무리수로 판명되었나

π는 무리수일 뿐 아니라 더 강한 성질도 증명되었습니다. 1882년 린데만은 π가 초월수, 즉 정수 계수 다항방정식의 해가 될 수 없는 수임을 보였습니다. 이 결과 덕분에 "자와 컴퍼스만으로 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하라"는 고대의 원적 문제가 불가능하다는 것이 확정되었죠. 참고로 √2는 x² − 2 = 0의 해이므로 무리수이지만 초월수는 아닌 대수적 무리수입니다.

5. 연산하면 어떻게 될까: 유리수는 닫혀 있고, 무리수는 변덕스럽다

유리수끼리 더하고, 빼고, 곱하고, (0이 아닌 수로) 나누면 결과는 언제나 유리수입니다. 수학 용어로 유리수는 사칙연산에 닫혀 있다고 합니다. a/b + c/d = (ad + bc)/bd처럼 분자·분모가 계속 정수로 유지되기 때문입니다. 반면 무리수는 그렇지 않습니다.

"유리수 + 무리수 = 무리수"는 귀류법으로 깔끔하게 증명됩니다. r + x(r 유리수, x 무리수)가 유리수 s라고 하면 x = s − r이 되어, 유리수끼리의 뺄셈인 우변은 유리수이니 x가 무리수라는 데 모순이죠. 그리고 0을 곱하면 0(유리수)이 되므로 곱셈 규칙에는 "0이 아닌"이라는 단서가 꼭 붙습니다.

6. 수직선 위의 진짜 인구 비율: 무리수가 압도적 다수

유리수는 수직선 위에 조밀(dense)하게 퍼져 있습니다. 서로 다른 두 유리수 a, b 사이에는 항상 (a + b)/2라는 유리수가 있고, 이를 반복하면 그 사이에 유리수가 무한히 많이 들어찹니다. 무리수 역시 조밀해서, 어떤 두 실수 사이에도 유리수와 무리수가 모두 무한히 존재합니다. 여기까지 들으면 둘이 비슷한 규모일 것 같지만, 반전이 기다리고 있습니다.

측도론의 언어로 말하면 유리수 전체의 '길이'(르베그 측도)는 0입니다. 그래서 0과 1 사이에서 실수 하나를 완전히 무작위로 고르는 이상적인 실험을 하면, 유리수가 뽑힐 확률은 0, 무리수가 뽑힐 확률은 1입니다. 일상에서 우리가 만나는 수는 대부분 유리수지만, 수직선의 '주민'은 사실상 거의 전부가 무리수인 셈이에요.

7. 자주 헷갈리는 오해 바로잡기

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(1, 10) + Fraction(2, 10)
Fraction(3, 10)

위 파이썬 예시처럼 일반 부동소수점은 2진 근사 때문에 오차가 생기지만, 분자·분모를 정수로 따로 저장하는 분수(유리수) 자료형을 쓰면 정확한 결과를 얻습니다. 유리수가 "정수 두 개로 완전히 기록 가능한 수"라는 정의가 실제 기술에서 이렇게 쓰입니다. 반면 무리수는 유한한 정수 쌍으로 담을 수 없으니 컴퓨터는 언제나 근삿값이나 기호 형태로 다룹니다.

8. 생활 속 무리수 찾기

무리수는 교과서 속 기호만이 아닙니다. 가장 가까운 예는 책상 위의 A4 용지입니다. 국제표준 ISO 216의 A 시리즈 용지는 가로:세로 비가 1 : √2로 설계되어 있어요. 반으로 접으면 다시 같은 비율의 종이(A4 → A5)가 되는데, 이 성질을 만족하는 비율이 바로 √2이기 때문입니다. x : 1 = 1 : x/2를 풀면 x² = 2가 나오죠.

원의 둘레와 넓이를 계산할 때마다 등장하는 π, 연속 복리·인구 증가·방사성 붕괴 같은 성장과 감쇠 모델의 바탕이 되는 e, 디자인과 건축 이야기에서 자주 언급되는 황금비 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618도 모두 무리수입니다. 정사각형 타일의 대각선, 정삼각형의 높이(한 변이 1이면 √3/2)처럼 기하 도형 곳곳에서도 무리수는 자연스럽게 튀어나옵니다.

9. 3분 셀프 체크 퀴즈

이런 개념들은 혼자 읽을 때보다 누군가에게 설명해 보거나 질문을 주고받을 때 훨씬 단단해집니다. 수 체계처럼 기초가 중요한 단원에서 막힌다면, 재능넷에서 자신의 눈높이에 맞는 수학 멘토를 찾아 1:1로 개념을 점검해 보는 것도 좋은 방법입니다.